Kayan Noktalı Sayılar

Kayan noktalı sayı formatı, gerçel sayıların bilgisayar ortamında gösterim şekillerinden biridir. Kayan noktalı sayılar, gerçel sayıların başka bir gösterimi olan sabit noktalı sayı formatına göre daha geniş sayı gösterim aralığına sahiptir.

Aşağıdaki kayan noktalı sayı gösterim şekli verilmiştir. Şekilde s olarak gösterilen kısım işaret bitini temsil etmektedir ve 1 bit ile gösterilmektedir. e ile gösterilen kısım ise üs değerinin tutulduğu bölümdür. IEEE-754 standartında bu değer 8 bit ile gösterilmektedir. ile gösterilen kısım ise çarpan bilgisinin tutulduğu bölümdür. IEEE-754 standartında bu değer 23 bit ile gösterilmektedir.

Adsız

Kayan noktalı sayı formatının 32 bit gösterimi için geliştirilen standartı IEEE-754 olarak adlandırılmaktadır. Kayan noktalı sayı çevrimi aşağıda verilen denklem yapılmaktadır.

Sayi = (-1)^s (1.f) 2^{e-bias}
e-bias=floor(log2(abs(Sayi)))

Denklemlerde s işaret bitini temsil etmektedir. İşaret biti sıfırsa sayının pozitif, bire eşitse negatif olduğu belirtilir. f çarpan olarak ifade edilmektedir. Çarpan değeri daima [0-1) aralığında olmalıdır. bias, üs sayısından çıkarılan sabit değeridir. Bu üs ifadesinin bulunduğu bit sayısına bağlı olarak hesaplanır. Hesaplama işlemi aşağıdaki denklemde gösterilmiştir.

bias = 2^{n-1} - 1

Denklemde n üst ifadesi bit sayısını ifade etmektedir. IEEE-754 standartında üs ifadesi 8 bit ile ifade edilmektedir. Bu durumda bias değeri 127 olmaktadır.

Verilen bir sayının IEEE 754 standartında çevrim işlemine ait bir örnek aşağıda gösterilmiştir.

Sayi > 0 olduğundan dolayı işaret biti 0 olmaktadır.
s = 0

Yukarıda verilen e-bias hesaplama denkleminde Sayi değerinin mutlak değerinin 2’ye göre logaritmasının aşağıya yuvarlanmış değeri 2 olmaktadır.
e – bias = 2

IEEE -754 standartında bias değerinin 127 olduğunu belirtmiştik. Bu durumda e değeri 129 olmaktadır.
e = 129

Çarpan değerinin hesaplama işlemleri için kayan noktalı sayı dönüşüm formülü kullanılır.

7 = (-1)^0 (1.f) 2^{2}

Buradan 1.f = 1.75 olarak hesaplanır. Çarpan değeri ise f = 0.75 olarak bulunur.

Dönüşüm işlemlerinde bulunan s,e ve f parametrelerinin ikili sayı sisteminde gösterimi aşağıdaki gibi yapılmaktadır:

  • İşaret biti değeri 0 olduğundan solayı s = 0 değerini almaktadır.
  • e değeri 129 olarak bulunmuştu. Bu değerinin 8 bitlik ikili sayı sisteminde gösterimi e = 10000001 olmaktadır.
  • Çarpan değeri ondalık sayı olarak hesaplanmıştı. Bu nedenle ikili sayı sistemine çevrim işlemleri aşağıdaki gibi yapılmalıdır.

0,75 * 2 = 1,5 →        1

0,5 * 2   = 1    →        1

0 * 2      = 0    →        0

|                |

|                |

Hesaplama işlemi çarpan kısmının gösterileceği bit uzunluğu kadar yapılmaktadır. IEEE 754 sayı formatında bu değer 23 olduğundan dolayı 23 kere işlem yapılmaktadır. 2. İşlemden sonra tüm değerler sıfır olacağından dolayı hesaplamalarda gösterime devam edilmemiştir.

7 sayısının IEEE 754 standardına çevrimi aşağıda gösterilmiştir.

Adsız

Yukarıda hesaplanan 32 bitlik kayan noktalı sayı formatındaki değeri tekrar gerçel sayıya dönüştürme işlemleri aşağıdaki gibi yapılır.

f = 2-1 x 1 + 2-2 x 1 + 2-3 x 0 + ……………+ 2-22 x 0 + 2-23 x 0 = 0,75

e=129

e-bias=129-127=2

s=0
Sayi=(-1)0 x (1 +0,75) x 22  = 1,75 x 4 = 7 elde edilir.